Quando o espaço-tempo vibra: explorando os sons dos buracos negros

Pedro H. C. Siqueiraᵃ,ᵇ*, Lucas T. de Paulaᵃ,ᵇ e Mauricio Richartzᵇ

ᵃ Programa de Pós-Graduação em Física – PPGFIS/UFABC

ᵇ Centro de Matemática, Computação e Cognição, UFABC

Resumo

Quando um buraco negro é perturbado, ele vibra como um sino antes de voltar ao equilíbrio. Essas vibrações, chamadas de modos quasinormais, funcionam como uma impressão digital: um conjunto de tons característicos que revela informações fundamentais sobre o buraco negro, como sua massa e rotação. Com o advento da astronomia de ondas gravitacionais, tornou-se possível “ouvir” esses ecos cósmicos, abrindo caminho para a chamada espectroscopia de buracos negros. Mas há um desafio: essas vibrações podem ser instáveis, ou seja, pequenas deformações do buraco negro podem alterar de forma drástica o conjunto de frequências observadas. Para investigar essa questão, analisamos dois cenários distintos. Primeiro, mostramos que, mesmo em buracos negros esféricos semelhantes ao modelo de Schwarzschild, mas levemente modificados, novas deformações podem aumentar sua instabilidade. Em contrapartida, em buracos negros análogos estudados em laboratório, observamos um efeito diferente: quando o sistema gira rapidamente, a rotação atua como um estabilizador, tornando os tons emitidos mais robustos frente a novas deformações.

Palavras-chave: buracos negros; análogos gravitacionais; modos quasinormais; pseudoespectro; ondas gravitacionais.

Abstract

When a black hole is perturbed, it vibrates like a bell before returning to equilibrium. These vibrations, called quasinormal modes, act as a fingerprint: a set of characteristic tones that reveals fundamental information about the black hole, such as its mass and spin. With the advent of gravitational-wave astronomy, it has become possible to 'hear' these cosmic echoes, paving the way for black hole spectroscopy. However, there is a challenge: these vibrations can be unstable, meaning that small deformations of the black hole can drastically alter the set of observed frequencies. To investigate this issue, we analyzed two distinct scenarios. First, we showed that even in spherical black holes similar to the Schwarzschild model but slightly modified, new deformations can enhance their instability. In contrast, in black hole analogs studied in the laboratory, we observed a different effect: when the system rotates rapidly, rotation acts as a stabilizer, making the emitted tones more robust against new deformations.

Keywords: black holes; gravitational analogs; quasinormal modes; pseudospectrum; gravitational waves.

*Este endereço de email está sendo protegido de spambots. Você precisa do JavaScript ativado para vê-lo. (ORCID ID 0000-0001-5411-6859)

Este endereço de email está sendo protegido de spambots. Você precisa do JavaScript ativado para vê-lo. (ORCID ID 0009-0002-1192-3532)

Este endereço de email está sendo protegido de spambots. Você precisa do JavaScript ativado para vê-lo. (ORCID ID 0000-0001-5190-469X)

Sons, instrumentos e modos de vibração

Quando um sino é tocado, não ouvimos apenas uma única nota, mas um conjunto rico de sons que se sobrepõem e decaem com o tempo. Esse timbre característico, que permite distinguir o som de um sino do som de uma taça de cristal ou de uma campainha, surge porque o sino não vibra em apenas uma frequência, mas em diversos padrões simultâneos de oscilação. Cada padrão corresponde a uma maneira organizada pela qual a estrutura inteira pode vibrar.

Esse fenômeno não é exclusivo dos sinos. Está presente em praticamente todos os instrumentos musicais. No caso de uma corda de violão, por exemplo, ao ser pinçada, ela vibra com um padrão fundamental e também com múltiplos harmônicos. Um tambor, por sua vez, apresenta vibrações de sua membrana em formas geométricas ricas, que podem ser visualizadas como linhas nodais onde a superfície não se move. Já uma flauta produz som a partir de uma coluna de ar em ressonância dentro de um tubo, e as frequências possíveis dependem diretamente do comprimento desse tubo.

Apesar das diferenças materiais e geométricas entre sinos, cordas, tambores e flautas, há uma ideia comum que os unifica: todos eles possuem modos normais de vibração. Esses modos são padrões característicos nos quais o sistema oscila de maneira organizada, com uma frequência bem definida, independentemente do estímulo inicial.

Um exemplo simples é o da corda vibrante. O movimento transversal y(x,t) de uma corda fixa nas extremidades satisfaz a equação da onda unidimensional:

onde v é a velocidade de propagação da onda na corda. Ao resolver essa equação com as condições de contorno (a corda está fixa em x=0 e x=L), obtém-se que apenas certas frequências são permitidas:

Cada valor de n corresponde a um modo normal de vibração: o primeiro modo (n=1) é a oscilação fundamental, enquanto os demais (n>1) são os sobretons. Esse resultado mostra que a corda vibra não apenas na frequência principal que ouvimos, a nota fundamental, mas também em harmônicos, que não soam como notas independentes, mas dão riqueza e caráter ao timbre do instrumento.

No caso de um sino, o princípio é o mesmo, mas a geometria é mais complexa. Em vez de uma corda unidimensional, temos uma superfície tridimensional com simetria aproximadamente cilíndrica. A variedade de formas possíveis para os modos vibracionais é muito maior, e por isso o espectro de frequências resultante é tão característico e inconfundível.

O que podemos inferir a partir desses exemplos é que sistemas físicos possuem assinaturas vibracionais próprias. Essas assinaturas dependem apenas das propriedades fundamentais do sistema: sua geometria, suas condições de contorno e os materiais que o constituem. É por isso que cada instrumento musical soa de forma única, mesmo quando duas notas têm a mesma frequência fundamental. Esse raciocínio carrega uma ideia importante: se conhecemos os modos de vibração de um objeto, a princípio, podemos inferir informações sobre a sua estrutura interna sem precisar “abrir” ou “desmontar” esse objeto. É assim que funciona a espectroscopia em química e física, por exemplo, quando se analisa as frequências de vibração de moléculas ou cristais para identificar sua composição.

É aqui que fazemos a ponte com a astrofísica. Objetos cósmicos como buracos negros não podem ser observados diretamente, pois sua própria definição envolve uma região da qual nada, nem mesmo a luz, consegue escapar. No entanto, quando um buraco negro é perturbado, por exemplo, após a fusão com outro buraco negro, ele vibra, emitindo radiação gravitacional em padrões característicos, chamados de modos quasinormais (MQNs). Eles são denominados assim por causa de uma característica fundamental do espaço-tempo ao redor do buraco negro. Diferentemente de instrumentos musicais, nos quais a energia da vibração se dissipa devido a fatores externos (como o ar ou o atrito do material), em um buraco negro a dissipação acontece intrinsicamente: a energia das vibrações é transportada para o horizonte de eventos e para o infinito, sob a forma de ondas gravitacionais. O horizonte de eventos funciona como uma superfície de absorção: qualquer perturbação que chega a ele é “engolida” pelo buraco negro, sem possibilidade de retorno. Do outro lado, a energia também escapa para regiões muito distantes do buraco negro. Como resultado, mesmo em um sistema perfeitamente isolado, a vibração decai no tempo. Matematicamente, isso se reflete no fato de que as frequências associadas aos MQNs são números complexos:

onde ω_R é a frequência de oscilação e ω_(I )<0 determina a taxa de decaimento exponencial. A parte imaginária surge justamente por essa “perda intrínseca” de energia para o horizonte e para o espaço distante.

Portanto, o termo “quasinormal” enfatiza que, embora o buraco negro oscile de maneira organizada, como um modo normal, essas oscilações não são eternas e têm uma atenuação natural que depende exclusivamente de características do buraco negro (massa, rotação e carga). Isso contrasta com um modo normal em um sistema idealizado sem dissipação, que duraria indefinidamente.

Ondas gravitacionais e a fase de ringdown

Quando dois buracos negros orbitam entre si e eventualmente colidem, o espaço-tempo ao redor deles se deforma de forma intensa, gerando ondulações que se propagam à velocidade da luz: as ondas gravitacionais. Esse fenômeno foi previsto por Albert Einstein em 1916, como uma consequência direta de sua Teoria da Relatividade Geral [1], mas permaneceu por décadas sem detecção direta.

A primeira observação direta de ondas gravitacionais, realizada pelo experimento LIGO em 2015 [2], confirmou não apenas a existência dessas ondas, mas também abriu uma nova janela para estudar o universo. O sinal detectado correspondia à fusão de dois buracos negros de dezenas de massas solares. Como mostrado na Fig. 1, podemos dividir o processo de fusão em três fases distintas:

• Inspiral: durante essa fase, os dois buracos negros orbitam um ao outro, emitindo ondas gravitacionais que aumentam de frequência e amplitude à medida que a distância entre eles diminui.
• Merger: neste momento ocorre a colisão efetiva, formando um único buraco negro altamente deformado. O pico da emissão de ondas gravitacionais acontece nessa fase.
• Ringdown: após a fusão, o buraco negro resultante não é estável inicialmente. Ele vibra, emitindo ondas gravitacionais características que decaem no tempo. Essas oscilações são justamente os MQNs.

Figura 1: Sinal típico de ondas gravitacionais de uma fusão de buracos negros, com as fases de inspiral, merger e ringdown destacadas. Imagem retirada de [2].

A fase de ringdown é de particular interesse para a espectroscopia de buracos negros. Como dito anteriormente, cada MQN possui uma frequência e uma taxa de decaimento que dependem exclusivamente das propriedades do buraco negro: sua massa e rotação. Assim, analisando os MQNs contidos no sinal de ondas gravitacionais, podemos “medir” essas propriedades de forma direta [3,4]. Essa abordagem, conhecida como espectroscopia de buracos negros [5], é análoga à espectroscopia atômica: assim como os átomos emitem luz em frequências características que revelam sua composição, os buracos negros “emitem” ondas gravitacionais em frequências que revelam suas propriedades fundamentais.

Espectro e Pseudoespectro de Buracos Negros

Para calcular as frequências dos MQNs na prática, e entender o comportamento do buraco negro, nós precisamos impor condições de contorno às equações de ondas gravitacionais. Na modelagem do problema fazemos com que somente ondas que viajam no sentido de entrar no horizonte de eventos (nunca o contrário, já que nada pode escapar de dentro do buraco negro) sejam permitidas. Do outro lado, muito longe do buraco negro (infinito), nós apenas permitimos ondas que estejam viajando na direção de “sair” pelo infinito. Isso ocorre porque, uma vez que queremos as frequências das ondas gravitacionais geradas pelo objeto, não podemos permitir que nenhuma onda externa (que venha de muito longe em direção ao buraco negro) interfira com a onda gerada pelo objeto.

Essas condições específicas tornam o problema mais desafiador porque o cálculo se transforma em uma busca pelas frequências específicas que descrevem como o espaço-tempo “vibra” em torno do buraco negro. É aqui que entram os métodos usados pelos físicos. Existem diversos métodos para calcular os MQNs e, dentre esses métodos, o que foi utilizado nos estudos teóricos conduzidos na UFABC, com apoio da FAPESP, chama-se abordagem hiperboloidal [6]. Esta abordagem não trata o horizonte de eventos, e o infinito distante, como barreiras inalcançáveis, mas redesenha o espaço-tempo em novas coordenadas, de maneira que esses extremos se tornam pontos acessíveis dentro do problema matemático. É como se comprimíssemos o infinito, trazendo-o para mais perto, mas sem perder nenhuma informação essencial.

Na física, quando estudamos o espaço-tempo, usamos coordenadas para descrever as posições e as velocidades dos eventos que ocorrem no universo. No caso de um buraco negro, as coordenadas padrão são bastante complicadas para estudar o que acontece tanto no horizonte de eventos, quanto no inifinito. E é isso que a abordagem hiperboloidal tenta simplificar, criando um novo sistema de coordenadas através da chamada compactificação hiperbólica. Essas novas coordenadas permitem estudar tanto o horizonte de eventos quanto o infinito de maneira controlada. A palavra compactificação aqui significa transformar algo que é infinitamente grande em uma forma finita, nos permitindo “encurtar” o espaço-tempo sem distorcê-lo, trazendo para dentro de um mesmo diagrama regiões que, nas coordenadas usuais, pareceriam inalcançáveis. Isso significa que conseguimos acompanhar de forma contínua a jornada das ondas gravitacionais, desde aquelas que atravessam o horizonte, até aquelas que escapam para o infinito, sem que as equações se percam em divergências ou inconsistências.

Todavia, existe uma questão importante sobre a análise dos MQNs: a estabilidade do espectro. Será que ele é estável? Se pequenas perturbações ao redor do buraco negro forem capazes de alterar significativamente a frequência dos MQNs, então o seu espectro é instável. Aqui entra outro conceito fundamental nos trabalhos conduzidos na UFABC: o pseudoespectro [7], que é responsável por mostrar o que acontece quando admitimos essas pequenas perturbações no sistema. Em termos qualitativos, podemos pensar no pseudoespectro como a coleção de todos os valores de frequências possíveis que poderiam compor o novo espectro do sistema perturbado. Dessa forma, ele mede a sensibilidade do sistema: um espectro estável permanece praticamente inalterado diante dessas perturbações, enquanto um espectro instável pode se deformar e revelar modos adicionais que não apareciam antes. É exatamente essa perspectiva que foi explorada nos trabalhos recentes realizados na UFABC, que aplicaram a abordagem hiperboloidal para calcular o pseudoespectro de buracos negros em diferentes contextos.

No primeiro trabalho [8], investigou-se uma hipótese levantada por outros autores [7]: a ideia de que a adição de uma perturbação extra ao sistema poderia tornar o espectro dos MQNs mais estável. Para testar essa afirmação, foi considerada uma generalização [9] do buraco negro de Schwarzschild, sem rotação nem carga elétrica, mas com parâmetros de deformação que representam possíveis desvios em relação à relatividade geral. Esses parâmetros extras foram interpretados como uma primeira perturbação física no espaço-tempo.

Em seguida, foi adicionada uma segunda perturbação, dessa vez senoidal, diretamente ao potencial que governa as oscilações. A análise do pseudoespectro na Fig. 2 mostrou que, ao contrário do esperado, a nova perturbação não estabilizou o sistema: em vez de círculos concêntricos bem definidos ao redor dos modos, o que indicaria estabilidade espectral, observou-se maior sensibilidade, com deslocamentos e dispersões dos modos sob pequenas variações, caracterizando instabilidade.

Outro resultado importante do estudo foi evidenciar que a diferença entre uma perturbação física do espaço-tempo e uma perturbação introduzida diretamente no potencial nem sempre é clara. Na prática, isso mostra que ambas influenciam a estrutura espectral de forma semelhante, o que dificulta distinguir seu efeito em dados observacionais. Por isso, conclui-se que é necessário um estudo mais aprofundado para compreender como identificar o tipo de perturbação presente nas medições.

Figura 2: À esquerda: um exemplo de pseudoespectro estável, caracterizado por círculos concêntricos ao redor dos MQNs (pontos vermelhos). Imagem retirada de [7]. À direita: pseudoespectro do buraco negro de Schwarzschild deformado em função dos parâmetros ϵ e a_3, que representam modificações em relação ao espaço-tempo de Schwarzschild. Imagem retirada de [8]. Podemos notar que o pseudoespectro é instável, uma vez que não há círculos concêntricos ao redor dos MQNs (pontos azuis).

No segundo trabalho [10], investigamos o pseudoespectro em um análogo de buraco negro com rotação. Modelos análogos de buracos negros são sistemas criados em laboratório que mimetizam certas propriedades de buracos negros astrofísicos [11,12,13]. Embora não sejam buracos negros de fato, as perturbações que se propagam nesses meios percebem o sistema como um espaço-tempo curvo que possui uma região da qual as ondas não conseguem escapar, delimitada por uma fronteira chamada de horizonte de eventos análogo.

O modelo específico consiste em uma banheira com escoamento [14], na qual a água se move em direção a um ralo e apresenta tanto movimento radial de drenagem (parametrizado por A) quanto movimento circular associado a um momento angular (parametrizado por B). A razão B/A quantifica o efeito relativo da rotação. Os resultados mostraram que a rotação atua como um fator de estabilização. Na Fig. 3, é possível observar que, à medida que B/A aumenta, os MQNs (indicados pelos pontos pretos) são deslocados para a direita e começam a ocupar regiões de cores mais claras no pseudoespectro, antes dominadas apenas pelo modo fundamental. Em outros contextos, foi mostrado que o modo fundamental é mais resiliente diante de perturbações do sistema [7]. Portanto, o comportamento revelado pelo pseudoespectro sugere que a rotação confere maior estabilidade aos sobretons do buraco negro análogo. A princípio, isso indica que buracos negros astrofísicos com rotação também devem apresentar uma tendência à maior estabilidade de seus MQNs, embora uma investigação mais profunda seja necessária.

Figura 3: À esquerda: Experimento da banheira com escoamento correspondente a um buraco negro análogo com rotação. Imagem reproduzida de [15]. À direita: pseudoespectro associado ao buraco negro análogo em função do parâmetro B/A. Em cada painel, os pontos pretos representam os MQNs. Imagem reproduzida de [10].

Os resultados obtidos nos trabalhos desenvolvidos na UFABC [8,10], com apoio da FAPESP, demonstram que a análise do pseudoespectro fornece informações adicionais importantes sobre os MQNs de buracos negros. A utilização da abordagem hiperboloidal permitiu avaliar não apenas os valores dos modos, mas também sua estabilidade frente a pequenas perturbações no espaço-tempo. No caso de buracos negros esféricos levemente deformados, constatou-se que certas perturbações podem aumentar a instabilidade do espectro, indicando a necessidade de estudos adicionais para compreender como diferentes tipos de deformação influenciam os MQNs. Já no modelo análogo, observou-se que a rotação tende a estabilizar os modos. Um próximo passo natural seria investigar esses efeitos em experimentos laboratoriais ou em cenários astrofísicos reais, como buracos negros de Kerr, que possuem rotação limitada, contribuindo para a compreensão da resiliência dos MQNs em situações astrofisicamente relevantes.

Agradecimentos

Os autores agradecem ao Dr. Rodrigo Panosso Macedo por sua colaboração nestes trabalhos e pela recepção no Instituto Niels Bohr, onde parte da pesquisa foi conduzida. Este estudo foi financiado, em parte, pela Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES, Brasil) – Código de Financiamento 001, e pela Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (FAPESP, Brasil), Processos 2022/07298-4 e 2023/07013-2. MR agradece o apoio parcial do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq, Brasil), Processo 315991/2023-2.

Referências

1. Einstein, A. The foundation of the general theory of relativity. Ann. Phys. 49, 769–822 (1916). https://doi.org/10.1002/andp.19163540702
2. Abbott, B. P. et al. Observation of gravitational waves from a binary black hole merger. Phys. Rev. Lett. 116, 061102 (2016). https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.116.061102
3. Berti, E., Cardoso, V. & Starinets, A. O. Quasinormal modes of black holes and black branes. Class. Quantum Grav. 26, 163001 (2009). https://doi.org/10.1088/0264-9381/26/16/163001
4. Kokkotas, K. D. & Schmidt, B. G. Quasinormal modes of stars and black holes. Living Rev. Relativ. 2, 2 (1999). https://doi.org/10.12942/lrr-1999-2
5. Berti, E. et al. Black hole spectroscopy: from theory to experiment. arXiv preprint arXiv:2505.23895 (2025).
6. Panosso Macedo, R. & Zenginoglu, A. Hyperboloidal approach to quasinormal modes. Front. Phys. 12, 1497601 (2024). https://doi.org/10.3389/fphy.2024.1497601
7. Jaramillo, J. L., Panosso Macedo, R. & Al Sheikh, L. Pseudospectrum and black hole quasinormal mode instability. Phys. Rev. X 11, 031003 (2021). https://doi.org/10.1103/PhysRevX.11.031003
8. Siqueira, P. H. C. et al. Probing the unstable spectrum of Schwarzschild-like black holes. Phys. Rev. D 111, 104039 (2025). https://doi.org/10.1103/PhysRevD.111.104039.
9. Rezzolla, L. & Zhidenko, A. New parametrization for spherically symmetric black holes in metric theories of gravity. Phys. Rev. D 90, 084009 (2014). https://doi.org/10.1103/PhysRevD.90.084009
10. de Paula, L. T. et al. Pseudospectrum of rotating analog black holes. Phys. Rev. D 111, 104064 (2025). https://doi.org/10.1103/PhysRevD.111.104064
11. Unruh, W. G. Experimental black hole evaporation. Phys. Rev. Lett. 46, 1351–1353 (1981). https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.46.1351
12. Barceló, C., Liberati, S. & Visser, M. Analogue gravity. Living Rev. Relativ. 8, 12 (2005). https://doi.org/10.12942/lrr-2005-12
13. M. S. Domingues & M. Richartz. Criando buracos negros em laboratório. PesquiABC 38 (2025). Disponível em: https://www.ufabc.edu.br/divulgacao-cientifica/pesquisabc/edicao-n-38-fevereiro-de-2025/criando-buracos-negros-em-laboratorio (acesso Set. 2025).
14. Visser, M. Acoustic black holes: horizons, ergospheres, and Hawking radiation. Class. Quantum Grav. 15, 1767–1791 (1998). https://doi.org/10.1088/0264-9381/15/6/024
15. I. Zolnerkevic. Astrophysics in the bathtub. Revista Pesquisa FAPESP (2017). Disponível em: https://revistapesquisa.fapesp.br/en/astrophysics-in-the-bathtub/ (acessado Set. 2025).